Кривая Персея
Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от
плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов[2]
.
Впервые этот подкласс
конических сечений Менехмом[3]. Переоткрыты в XVII веке[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини
(«восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.
Уравнение кривой в
декартовой системе координат
:
- ,
в ней — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом образован тор. При кривая состоит из двух окружностей радиуса с центрами ; при кривая вырождается в точку — начало координат, если же — то кривая состоит из пустого множества точек[3].
Если ввести новые параметры: , и , то возникает другая форма уравнения[4]:
- .
Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую[5], симметричную относительно осей и .
Уравнение в
полярных координатах
:
- ,
или[4]:
- .
Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.
Примечания
- ↑ Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
- ↑ 1 2 Стиллвелл, 2004, с. 43.
- ↑ 1 2 Мактьютор, 1997.
- ↑ 1 2 Если система уравнений для , , не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.
- ↑ Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Литература
- Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Spiric Sections . MacTutor History (1 января 1997). Дата обращения: 18 мая 2018. Архивировано из оригинала 26 октября 2019 года.
- Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.