Рациональная нормальная кривая — гладкая
Она является одним из сравнительно простых
вложения Веронезе
, применённого к проективной прямой.
Определение
Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения
которое переводит точку с
однородными координатами
в точку
В аффинной карте это отображение записывается более простым образом:
Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой при помощи единственной бесконечно удалённой точки[англ.].
Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов
где —
однородные координаты
на
. Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например,
и
Альтернативная параметризация
Пусть — различных точек на Тогда многочлен
является однородным многочленом степени с различными корнями. Многочлены
образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение
также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно,
мономы
являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести
линейным преобразованием
в любой другой базис.
Данное отображение отправляет нули многочлена в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена
Свойства
- Любые точки на рациональной нормальной кривой в линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
- Для любых точек в таких что любые из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в в качестве многочлена выбрать многочлен, зануляющийся в точках
- Рациональная нормальная кривая в случае не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.[1]
Примечания
Литература
- Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.